Relatório de atividades - Geografia

Equipe:

•  Rosana Sousa
• Nicole Silva
• Lucas Alves
• Lucas Sousa
• Isadora

Turma: 3m12  Professor: Antônio Raimundo

Todos desempenharam suas devidas funções na equipe, como :

1. As crises econômicas mundiais no mundo globalizado - Rosana Sousa
2. A biografia de Milton Santos - Nicole Silva
3. A desestruturação da globalização - Isadora
4. A regionalização das economias mundiais - Lucas Sousa
5. Os conflitos étnico-religiosos no mundo globalizado - Lucas Alves

As crises econômicas mundiais no mundo globalizado

A regionalização da globalização

Conflitos Étnico-religiosos atuais no mundo globalizado

Biografia de Milton Santos e a Desestruturação da glabalização

Distância entre dois pontos - Geometria Analítica

Circunferência Introdução

Geometria Analítica - 08 - Representação e Coeficiente Angular

Geometria Espacial - Parte 1

Exercícios Resolvidos - Geometria Espacial

1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:

Resolução:

 

  

2) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?

Resolução:

3 ) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem:

Resolução:

 

4) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

Resolução:

 

5) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6cm desse eixo, apresenta secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

Resolução:

 

Geometria Espacial

A geometria espacial é o estudo da geometria no espaço, na qual as figuras que possuem mais de duas dimensões, recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais.

Estas figuras são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupada por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

Apresentamos a seguir as fórmulas para calcular o volume dessas figuras:

                                                                     

                                                       

                                                                         

                                                       

Fonte: esquadrão do conhecimento

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Considere uma circunferência no plano de cento O(x_o, y_o) e raio r. Dada uma reta s de equação ax + by +c = 0, também do mesmo plano. A reta s pode ser tangente, secante ou externa à circunferência. Se s for tangente, ela toca a circunferência em um só ponto. Se s for secante, intercepta a circunferência em dois pontos distintos. E se for externa à circunferência, a reta s não possui nem um ponto em comum com a circunferência.

Do ponto de vista de geometria analítica, temos:

1º caso: A reta s é externa à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é maior que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s > r

2º caso: A reta s é tangente à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual ao raio. Ou seja:
d_O,s = r

3º caso: A reta s é secante à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s < r

Exemplo 1. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)² + (y – 3)² = 25.
Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:

x₀ = 3 e y₀ = 3 → O(3, 3)
r² = 25 → r = 5

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s.

Da equação geral da reta, obtemos:
a = 3, b = 1 e c = – 13

Assim,

Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

Exemplo 2. Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)² + (y – 1)² = 5.
Solução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à medida do raio. Da equação da circunferência, temos que:

x₀ = 1  e y₀ = 1 → O(1, 1)
r² = 5 → r = √5

E da equação da reta, obtemos:
a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida do raio, podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Sabemos que os pontos de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro O(x₀, y₀) e que a essa distância damos o nome de raio. Se um ponto P(x_P ,y_P) do plano não pertence à circunferência, a distância do centro até ele é maior ou menor que o raio. Se a distância entre O e P for maior que o raio, podemos afirmar que P é exterior à circunferência. Se a distância entre O e P for menor que o raio, então P é interior à circunferência.

Vamos analisar cada situação.

1º caso: P(x_P, y_P) é um ponto da circunferência.

Se P é um ponto da circunferência, então d_P,O = r

 2º caso: P(x_P, y_P) é um ponto exterior à circunferência.

Se P é um ponto exterior à circunferência, então d_P,O > r

3º caso: P(x_P, y_P) é um ponto interior à circunferência.

Se P é um ponto interior à circunferência, então d_P,O < r

Exemplo 1. Dada uma circunferência de equação (x – 5)² + (y – 4)² = 25, verifique a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.

Solução: Devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.

Da equação reduzida da circunferência, temos:
x₀ = 5 e y₀ = 4 → O(5, 4)
r² = 25 → r = 5
Vamos determinar a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.

Resolução de exercícios

Resposta Questão 1

Basta utilizar a fórmula para Distância entre dois pontos. Observe:

Gabarito: Letra E.

Resposta Questão 4

Para resolver esse exercício, basta resolver a equação d_AB = d_BC. Antes disso, porém, calcularemos d_AB e d_BC separadamente e elevaremos seus resultados ao quadrado. Primeiramente, a distância entre A e B:

Agora, a distância entre B e C:

O resultado final é obtido resolvendo a equação gerada por (d_AB)² = (d_BC)². Observe:

Gabarito: Letra C.

Geometria Analítica - 05 - Equação Segmentária

Circunferência - 04 - Posição Relativa

Exercícios - Distância entre dois pontos

Questão 1

Qual é a distância entre os pontos A e B, em centímetros, sabendo que suas coordenadas são A = (2,3) e B = (-2,-2)?

a) 41 cm

b) 6 cm

c) 49 cm

d) 41,5 cm

e) 6,4 cm

Questão 2

(PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:

a) (3, 1).

b) (3, 6).

c) (3, 3).

d) (3, 2).

e) (3, 0).

Geometria analítica: Distância entre dois pontos

A simples medida da distância entre dois pontos, que envolve a utilização de réguas e escalas, na geometria analítica, se resume a uma fórmula facilmente dedutível: 


O triangulo ABC é um triângulo retângulo, portanto vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a hipotenusa, logo:

Geometria Espacial - 07 - parte 2

Ponto médio de um segmento de reta 06

Geometria Analítica - 03 - Posições Relativa da Reta

Geometria Analítica - 02 - Exercício

Geometria Analítica - 01

Introdução à Geometria Analítica

Para começar o estudo da geometria analítica, é necessário conhecer o Plano Cartesiano:



O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.
O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).

Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

Bissetrizes
As bissetrizes são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano ( ponto (0, 0) ), e formam um ângulo de 45º com os eixos X e Y. As coordenadas dos pontos que estão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes pares são sempre opostos (se X for positivo, Y será negativo, e vice-versa).

Já os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de X e Y iguais. Veja no desenho abaixo:

Distância entre dois pontos

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

Introdução à Geometria Plana

A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume.

A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”.

Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra".

Conceitos de Geometria Plana

Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber:

Ponto

Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras maiúsculas.

Reta

A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:

• horizontal
• vertical
• inclinada

Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes.

Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas.

Segmento de Reta

Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos.

A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim.

Plano

Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.

Ângulos

Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

• ângulo reto (Â = 90º)
• ângulo agudo (0º < Â < 90º)
• ângulo obtuso (90º < Â < 180º)

Área

A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.

Perímetro

O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Figuras da Geometria Plana

Triângulo

Polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta.

Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em:

• triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);
• triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes;
• triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

• triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°;
• triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;
• triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°.

Quadrado

Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

Retângulo

Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

Círculo

Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

Trapézio

Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

• trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;
• trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;
• trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes.

Posição Relativa Entre Duas Retas - Exercícios Resolvidos

01) Qual é a posição da reta r, de equação 15x + 10y - 3 = 0, em relação à reta s, de equação 9x + 6y - 1 = 0?

Solução: primeiro isole "y" para saber o coeficiente angular.

Posição Relativa Entre Duas Retas

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico. 

Retas paralelas 

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. 


As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. 


As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. 


As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. 


As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. 

Retas concorrentes 

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não. 


As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. 


As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.