Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Sabemos que os pontos de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro O(x₀, y₀) e que a essa distância damos o nome de raio. Se um ponto P(x_P ,y_P) do plano não pertence à circunferência, a distância do centro até ele é maior ou menor que o raio. Se a distância entre O e P for maior que o raio, podemos afirmar que P é exterior à circunferência. Se a distância entre O e P for menor que o raio, então P é interior à circunferência.

Vamos analisar cada situação.

1º caso: P(x_P, y_P) é um ponto da circunferência.

Se P é um ponto da circunferência, então d_P,O = r

 2º caso: P(x_P, y_P) é um ponto exterior à circunferência.

Se P é um ponto exterior à circunferência, então d_P,O > r

3º caso: P(x_P, y_P) é um ponto interior à circunferência.

Se P é um ponto interior à circunferência, então d_P,O < r

Exemplo 1. Dada uma circunferência de equação (x – 5)² + (y – 4)² = 25, verifique a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.

Solução: Devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.

Da equação reduzida da circunferência, temos:
x₀ = 5 e y₀ = 4 → O(5, 4)
r² = 25 → r = 5
Vamos determinar a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.