Equação Segmentária da Reta - Exercícios Resolvidos

01) Determine a forma segmentária da reta com equação  geral 5x + 3y – 7 = 0.



02) Determine a forma segmentária da reta com equação geral 4x + y - 2 = 0.



03) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0) e B(0, 4).

04) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(5, 0) e B(0, 3).

Equação Segmentária da Reta

 O estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os seguintes tipos de equação: equação geral da reta, equação reduzida, equação paramétrica e equação segmentária. Faremos o estudo da equação segmentária da reta e sua utilização.

Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:


Que é a equação na forma segmentária da reta s.

c/a é a abscissa do ponto de interseção com o eixo x.

c/b é a ordenada do ponto de interseção com o eixo y

Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:
s: 2x + 3y – 6 = 0
 

Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6

Dividindo a equação por 6, obtemos:

A identidade acima é a forma segmentária da equação da reta s.

Exemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.

Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:
7x + 14y = 28

Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:

Que é a equação segmentária da reta t.

Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:

(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.
(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.

Exercícios - Coeficiente angular

Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx

m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

 

Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = y_B – y_A / x_B – x_A

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx