Geometria Analítica - 08 - Representação e Coeficiente Angular

Geometria Espacial - Parte 1

Exercícios Resolvidos - Geometria Espacial

1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:

Resolução:

 

  

2) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?

Resolução:

3 ) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem:

Resolução:

 

4) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

Resolução:

 

5) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6cm desse eixo, apresenta secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

Resolução:

 

Geometria Espacial

A geometria espacial é o estudo da geometria no espaço, na qual as figuras que possuem mais de duas dimensões, recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais.

Estas figuras são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupada por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

Apresentamos a seguir as fórmulas para calcular o volume dessas figuras:

                                                                     

                                                       

                                                                         

                                                       

Fonte: esquadrão do conhecimento

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Considere uma circunferência no plano de cento O(x_o, y_o) e raio r. Dada uma reta s de equação ax + by +c = 0, também do mesmo plano. A reta s pode ser tangente, secante ou externa à circunferência. Se s for tangente, ela toca a circunferência em um só ponto. Se s for secante, intercepta a circunferência em dois pontos distintos. E se for externa à circunferência, a reta s não possui nem um ponto em comum com a circunferência.

Do ponto de vista de geometria analítica, temos:

1º caso: A reta s é externa à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é maior que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s > r

2º caso: A reta s é tangente à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual ao raio. Ou seja:
d_O,s = r

3º caso: A reta s é secante à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s < r

Exemplo 1. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)² + (y – 3)² = 25.
Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:

x₀ = 3 e y₀ = 3 → O(3, 3)
r² = 25 → r = 5

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s.

Da equação geral da reta, obtemos:
a = 3, b = 1 e c = – 13

Assim,

Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

Exemplo 2. Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)² + (y – 1)² = 5.
Solução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à medida do raio. Da equação da circunferência, temos que:

x₀ = 1  e y₀ = 1 → O(1, 1)
r² = 5 → r = √5

E da equação da reta, obtemos:
a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida do raio, podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Sabemos que os pontos de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro O(x₀, y₀) e que a essa distância damos o nome de raio. Se um ponto P(x_P ,y_P) do plano não pertence à circunferência, a distância do centro até ele é maior ou menor que o raio. Se a distância entre O e P for maior que o raio, podemos afirmar que P é exterior à circunferência. Se a distância entre O e P for menor que o raio, então P é interior à circunferência.

Vamos analisar cada situação.

1º caso: P(x_P, y_P) é um ponto da circunferência.

Se P é um ponto da circunferência, então d_P,O = r

 2º caso: P(x_P, y_P) é um ponto exterior à circunferência.

Se P é um ponto exterior à circunferência, então d_P,O > r

3º caso: P(x_P, y_P) é um ponto interior à circunferência.

Se P é um ponto interior à circunferência, então d_P,O < r

Exemplo 1. Dada uma circunferência de equação (x – 5)² + (y – 4)² = 25, verifique a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.

Solução: Devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.

Da equação reduzida da circunferência, temos:
x₀ = 5 e y₀ = 4 → O(5, 4)
r² = 25 → r = 5
Vamos determinar a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.

Resolução de exercícios

Resposta Questão 1

Basta utilizar a fórmula para Distância entre dois pontos. Observe:

Gabarito: Letra E.

Resposta Questão 4

Para resolver esse exercício, basta resolver a equação d_AB = d_BC. Antes disso, porém, calcularemos d_AB e d_BC separadamente e elevaremos seus resultados ao quadrado. Primeiramente, a distância entre A e B:

Agora, a distância entre B e C:

O resultado final é obtido resolvendo a equação gerada por (d_AB)² = (d_BC)². Observe:

Gabarito: Letra C.